简单有理函数的不定积分的求法,有理数的不定积分公式

　　1.简介：《人工智能数学基础不定积分2：利用换元法求不定积分》和《人工智能数学基础—不定积分3：分部积分法》分别介绍了变变量积分法和逐步积分法。但有些函数表达式非常复杂，如果用代换积分和逐步积分的方法很难直接计算积分，就要先把函数化简。本文介绍的有理函数积分是一种计算不定积分的方法。

　　二。有理函数的概念2.1。定义两个多项式的商P(x)/Q(x)称为有理函数，也称为有理分式。

　　2.2.补充一下，上面的定义假设P(x)和Q(x)之间没有公因数，因为如果有，可以通过约定去掉；当分子多项式P(x)(变量的最高次幂)的次数小于分母多项式Q(x)的次数时，有理函数称为真分式，否则称为假分式；通过使用多项式的除法，假分数总是可以转换成多项式和真分数的和；对于真分数P(x)/Q(x)，如果分母Q(x)可以分解成两个多项式Q1(x)Q2(x)的乘积，即Q(x)=Q1(x)Q2(x)，与Q1(x)，Q2(x)没有公因数，那么真分数P(x)这个过程叫做把真分数变换成部分分式之和。如果Q1(x)或Q2(x)也可以分解成两个公因子的多项式的乘积，那么它可以分解成更简单的部分分式。真分数转化为部分分数之和后，最终的有理函数分解中只会出现多项式，P1(x)/(x-a)k，P2(x)/(x2 px q)l等三种函数(这里p2-4q0，P1(x)是小于k的多项式，P2(x)是小于2l的多项式)。多项式的积分可以通过不定积分的加法转化为各项的积分，所以很容易找到。思考:学到这里，老猿疑惑为什么有理函数可以转化成这三类函数？仔细考虑，应该是以下原因：

　　多项式最后两个真分数的分子就不用说了，主要是关于为什么最后两个真分数的分母是那样的；任何一个变量的多项式的最高次n都是决定因素，任何一个整数n都可以表示为一个整数和一个偶数的和，因此是这两种形式的分母。三、真分数积分法的求解首先看两个例子：

　　从上面两个例子可以看出，老猿对真分式求积分的步骤的总结如下：

　　首先将分母分解为n个无公因式多项式的乘积；将分解后的有理函数拆分成N个真分数的和，每个真分数的分母是上述N个多项式中的一个，分子是一个未知系数的完全多项式，其系数一度低于分母；根据被积函数与n个真分式之间的相等关系，得到变量各系数之间的关系，通过这个关系得到所有未知系数，带入第二步的n个真分式中，即把原有理函数的积分转化为n个真分式之和。用积分加法对每个真分数进行积分，得到最终的积分结果。四。将一些无理数函数转化为有理函数，并对有理数函数进行积分。有理数函数积分的方法不仅可以应用于有理函数，还可以应用于一些可以用换元法等方法化为有理函数的函数。

　　4.1.三角函数案例小结:可以看出，将三角函数改变u=tan(x/2)，由三角函数组成的相似有理公式的积分计算就可以转化为有理函数进行计算，最后可以替换变量x=2arctan u。这种处理方法可应用于三角函数的类似有理公式的积分。

　　注意:当变量x((2k-1)，(2k 1))时，作变换u=tan((x-2k)/2)=tan(x/2)，x=2k 2arctan u，也可以应用有理分式求解积分。

　　4.2、第n次处方案例1:

　　案例2:小结:从上面的案例可以看出，如果被积函数包含一个单根，将单根设为U，就可以将被积函数转化为一个有理分式，然后利用这个有理分式就可以得到积分，再将结果代入U到X的逆变换，就可以得到有根的泛函积分。

　　5.摘要本文介绍了有理函数的概念和积分有理函数的方法，通过适当的代换将三角函数类有理函数和带根的被积函数转化为有理函数。

　　注：本文内容是老猿对同济高数的学习总结。如果需要原版教材的电子版，OpenCV、Python、图像处理原理的基础知识介绍相关电子资料，或者对文章有疑问，请扫描博客首页左侧二维码添加微信公众号，添加微信公众号后按照自动回复操作。

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