条件概率和全概率和贝叶斯公式适用范围,全概率公式和贝叶斯公式适用于哪些问题
导读：本文从条件概率入手，介绍事件间独立性的相关概念，进而引出全概率公式和贝叶斯公式的基本内容，让读者从概率的角度初步认识现实世界。
作者：原味猕猴桃
来源：大数据数据库(id:hzdashuju))。
01 从概率到条件概率
至于概率，相信大家都不知道。比如最简单的掷骰子概率场景，得到5分的概率是多少？我们会毫不犹豫地说出答案。概率是1/6。
这个问题太简单了。如果我们如此满足，那么研究的意义就无足轻重了。然后，给这个问题加个限定条件。知道掷出的骰子数是奇数，求掷出的骰子数变成5的概率。是的，我明白了。这个问题没有直接问投票概率5，而是加入了已知分数为奇数的前提。
生活中这样的场景比较多，但是我们一般不会直接去推断某个事件的可能性。因为，其实没有任何意义，也不容易猜到结果。一般而言事件是不会孤立发生的，都会伴随其他一些条件。比如下雨的概率是多少？可能有雾。它在哪里？什么时候？那天的云有多厚？没有预设，就无法得到有意义、有价值的推定结果。
因此，在实际应用中，我们关心的是在给定条件概率即部分信息的基础上，估计所关心事件的概率。给定的信息是事件的附加条件，是我们研究的重点。
02 条件概率的具体描述
首先我来详细解释一下条件概率。假设一个事件B发生，我们想知道另一个事件A发生的可能性。此时，需要构造条件概率，在考虑事件B已经发生的信息后，计算事件A发生的概率。
这个条件概率表示当一个事件B发生时，事件A发生的概率，用p(ab)表示。
让我们回到骰子的问题。在奇数骰子的前提下，5分的概率是多少？有{1，3，5} 3个奇数的分数，其中5的概率是1/3。很明显，计算结果和单独问分数5的概率是不一样的。
下面我们来抽象一下条件概率的应用场景。
回归最简单易懂的经典概率模型进行分析。假设一个实验有n种可能的结果。事件A和B分别包含M1和M2结果，M12表示共同结果，即事件A和事件B同时发生，即事件AB包含的实验结果数。
试着在图1-1中再次想象上述场景。
图1-1事件和事件同时发生的场景
事件A和事件B分别发生的概率是多少？读者会脱口而出M1/N和m2/n，然后，考虑条件概率。在事件发生的前提下，事件发生的概率是多少？
此时我们考虑的范围从最初的N个所有可能的结果缩小到现在的M2结果，也就是事件B的结果范围，但只有M12个结果对应事件A的发生，条件概率p(ab) M12。
03 条件概率的表达式分析
为了更深入地挖掘其含义，将条件概率p(ab )=M12/M2的公式进一步展开，将公式的上下两部分同时除以所有可能的结果。
从而得到了条件概率p(ab )=p) ab )/p) b)的一般定义。
04 两个事件的独立性
进一步分析上面的例子，给出事件A的无条件概率p(a)
固定事件B下的条件概率P(AB)明显不同P(AB)P(A)即也是很常见的情况，无条件概率和条件概率的概率值一般都不一样。
实际上，这种情况也反映了这两个事件之间存在某种联系。如果P(AB)P(A)满足，可以说事件B的发生增加了事件A的可能性，即事件B促进了事件A的发生。
但是P(A)=P(AB)的情况也是存在的，而且这是一个很重要的情况，也就是说事件B的发生对事件A的发生没有影响，这个时候我们就把这两个事件A和B称为独立，通过条件概率的定义进行转换得到：
其实我们用上面的表达式来描述事件独立性，比单纯用P(A)=P(AB)要好，因为P(AB)=P(A)P(B)不受概率P(B)是否为0的限制。
因此，如果两个事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和事件B是独立的。
05 从条件概率到全概率公式
让我们假设B1，B2，B3，Bn是有限或无限可数的事件，相互排斥且每个实验中至少有一个事件发生，如图1-2所示。
图1-2事件是互斥的，每个实验中至少有一个事件发生。
用表达来描述：
现在我们介绍另一个事件A，如图1-3所示。
图1-3介绍实验中的事件A
从图1-3可以看出，由于是必然事件(即整个事件的全集)，所以方程P(A)=P(A)成立，进一步推导如下：
P(A)=P(A)=P(AB1 AB2 AB3.荷兰银行.因为事件B1和Bj是互斥的，那么显然AB1、AB2、AB3，和ABN是互斥的，所以有：
P(A)=P(AB1) P(AB2) P(AB3).荷兰银行
将条件概率公式P(ABi)=P(Bi)P(ABi)代入：
P(A)=P(B1)P(AB1) P(B2)P(AB2).(英国)石油公司
这就是我们最终得到的全概率公式。“全”字的意思是将总概率P(A)分解为多个部分概率之和。
回顾全概率公式的表达式，可以发现事件A的概率P(A)应该在最小值P(ABi)和最大值P(ABj)之间。不是所有条件概率P(ABk)的算术平均，因为事件的机会权重(即P(Bi))不同，所以总概率P(A)。
06 聚焦贝叶斯公式
知道了全概率的公式后，我们进一步处理条件概率的表达式，得到如下等式：
这就是著名的贝叶斯公式。
不要觉得平淡无奇，只是数学公式的推导和令人耳目一新的钻石。实际上，这个公式里包含了全概率公式、条件概率、贝叶斯准则。我们来探讨一下其中蕴含的重要内涵。
贝叶斯公式将条件概率P(AB)和条件概率P(BA)紧密联系在一起，其最根本的数学基础是P(AB)P(B)=P(BA)P(A)，两者都等于P(AB)。
这里面有什么具体而深刻的内涵？我们继续往下看。
07 本质内涵：由因到果，由果推因
现实中，我们可以把事件A看成结果，事件B1，B2，导致这一结果的原因是多方面的。所以，我们引入的全概率公式
P(A)=P(B1)P(AB1) P(B2)P(AB2).(英国)石油公司
也就是说，从各种原因推断的结果事件发生的概率是由因到果。
但是，实际上还有一个重要的应用场景：我们在日常生活中经常会观察到某个现象，然后推导出这个现象的各种成因的概率。简单来说就是由果推因。
通过贝叶斯公式
最终条件概率P(BiA)是在已经观测到结果事件A的情况下，推断结果事件A是由原因Bi引起的概率，以此来支持我们后续的判断。
P(Bi)称为先验概率，是指没有其他前提信息的概率值。这个值一般需要靠我们的经验来估算。条件概率P(BiA)称为后验概率，表示在获得“结果事件A发生”的信息后，原因Bi发生的概率。可以说后验概率是获得新信息后对先验概率的修正。
从概率、条件概率、全概率公式开始，最后聚焦贝叶斯公式，主要梳理概念层面，帮助读者快速形成基于条件概率的认知视角。概率的重要性不言而喻，它将贯穿概率统计的整个课程体系。
作者简介：平原猕猴桃，人工智能技术专家，毕业于清华大学计算机系，长期从事人工智能领域相关研究工作。熟悉机器学习算法的应用及其背后的数学理论基础。目前已经出版了一批以机器学习数学为基础的畅销书，并入选JD.COM推荐书目，深受读者欢迎。
本文摘自《机器学习中的概率统计 Python语言描述》。
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