矩阵的svd分解通俗解释,矩阵svd分解 数学例题
矩阵相关术语共轭矩阵(Hermite矩阵)特征值相似矩阵a h a h a酉矩阵酉偏置(正交偏置)奇异值分解类型特征分解奇异值分解python代码实现验证结果np.linalg.svd svd利用Python通过SVD分解进行图像压缩
矩阵相关术语共轭矩阵(埃尔米特矩阵)
当A=(ai，J)是一个复矩阵时，用A \ OVERLINE A表示A的共轭复数，记住A \ OVERLINE A=(A I J \ OVERLINE { AIJ } AIJ)，那么A \ OVERLINE A是A的共轭矩阵
Hermite矩阵关于其主对角线以复共轭方式对称，Hermite矩阵主对角线上的元素必须是实数。实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。比如：
特征值定义：设A为n阶方阵。如果有一个数和一个非零的n维列向量X，使得Ax=x成立，那么是矩阵A的一个特征值，X是特征值对应的矩阵A的特征向量。
Ax=x也可以写成(A-E)X=0。它是n个未知方程的齐次线性系统，有非零解当且仅当系数行列式 A-E=0。系数行列式A-E称为A的特征多项式。
n阶方阵A=(aij)的所有特征根是1，2，…，n(包括重根):
如果是可逆矩阵A的特征根，X是对应的特征向量，那么1/是A的逆的特征根，X仍然是对应的特征向量。如果是方阵A的特征根，X是对应的特征向量，那么的m次幂是A的m次幂的特征根，X还是对应的特征向量。设1，2，…，m为方阵a的不同特征值，Xj为属于i的特征向量(i=1，2，…，m)，则x1，x2，…，xm线性无关，即不同特征值的特征向量线性无关。特征值和特征向量的求解用 A-E=0，特征值根的维数一般是一维的。即k(为基本解系)。如果根是重复的，维数就是特征根的重数。k11 k22 …的相似矩阵假设为A，两个B都是N阶矩阵。如果存在可逆矩阵P，使得P(-1)AP=B，则称B为A的相似矩阵，矩阵A与B相似，记为A ~。
性质自反性：A~ A对称性：若A~ B，则B~ A传递性：若A~ B，B~ C，则A~ C若A~ B，则r(A)=r(B)，A=B，tr(A)=tr(B)，两个Ah代表A的共轭转置(A是复矩阵)(取每个元素的共轭，转置整个矩阵)。
如果a是实矩阵，AH = AT。
属性xH AH=(Ax)H AHA定理：矩阵Am,n,R(A) = r，则AHA与AAH的特征值都是非负实数，所以其所有特征的算术平方根为矩阵A的奇异值。
证明x是n阶矩阵AHA对应于特征值的特征向量，可得AHAx=x，
XHAHAx=xHx is (Ax，Ax)=(x，x)
因为(Ax，ax)=0且(x，x)=0，所以特征值=0。
mn矩阵A的奇异值个数等于列数N(因为AHA的阶数为N)且A的非零奇异值个数等于rankA(因为rank(AHA)=rank(A))。酉矩阵定义：若N阶复矩阵A满足AHA=AAH=E，则称A为酉矩阵。与实矩阵相比，酉矩阵等价于正交矩阵，ATA=AAT=E
性质AH=a1(酉矩阵)A=1行列式为1。充分条件是矩阵A的n列向量是成对正交的单位向量。酉偏置(正交偏置)定理：酉偏置矩阵具有相同的奇异值。
证明矩阵Am，N和Bm，N，若有M阶酉矩阵U和N阶酉矩阵V，则A=UBVH。当UH=U-1，VH=V-1时，我们可以得到：
AHA=vbhuhuubvh=V(BHB)V-1
因此，AHA和BHB是相似的矩阵，即它们具有相同的特征值。所以a和b有相同的奇异值。
什么是酉偏置？矩阵Am，n和矩阵Bm，n，如果存在m阶酉矩阵u和n阶酉矩阵v，使得A=UBVH，那么矩阵A和b称为酉矩阵。
奇异值奇异值是矩阵中的一个概念，一般通过奇异值分解定理得到。设A为m*n阶矩阵，q=min(m，n)，A*A的q个非负特征值的算术平方根称为A的奇异值。
奇异值分解矩阵Am，N，秩(A)=r，则有M阶酉矩阵U和N阶酉矩阵V，这样：
其中=Diag ( 1， 2，…，r)， 1 2 … r > 0，i(i=1，2，…，r)为矩阵a的正奇异值。
A的奇异值由A唯一确定，但酉矩阵U和V一般不唯一，所以矩阵A的奇异值分解一般不唯一。
方阵A的特征分解获得特征值和特征值对应的特征向量可以将方阵A分解为：
证明了方阵A有n个线性无关的特征向量v1，v2，v3，…，vn，对应的特征值为1，2，3，…，n，使得V=(v1，v2，v3，…，vn)
在进行特征分解时，V的这n个特征向量一般是标准化的，即V中的n个特征向量是标准的正交基，满足：
VT=V-1，VTV=I
所以方阵A的特征分解公式为：
奇异值分解矩阵的特征分解要求矩阵必须是方阵，那么可以用SVD来分解不是方阵的矩阵。假设A是一个m * n矩阵，有一个分解使得：
u是左奇异值矩阵，是矩阵A的奇异值，除了主对角线上的元素都是0，V是右奇异值矩阵。
求右奇异值矩阵虽然矩阵A不是方阵，但ATA是n * n方阵，所以ATA的特征值和特征向量的计算如下：
ATA=vVT
公式的v就是SVD公式中的v矩阵。
类似于求左奇异值矩阵，SVD中的U矩阵可以通过计算AAT方阵的特征值和特征向量得到。AAT = （UVT）(UVT)T = UVTVTUT = U2UT
可以看出，AA T的特征向量就是SVD中的U矩阵。
求奇异值说明ATA的特征向量是SVD中的V矩阵，特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方。也就是说，特征值和奇异值有如下关系：
Python代码实现
求右奇异值矩阵导入numpy为NPA=np.array ([[1，0，1]，[0，1，1]，[0，0，0]]，dtype=NP . float)NP . set _ print options(precision=4，suppress=true) w，V=NP . linalg . eight(a . t . dot(a))# w特征值，V特征向量w _ index=np.argsort (w) [:-1] #返回下标w=np.sort (w)
[ 0.7071, -0.7071, 0.],
[ 0.5774, 0.5774, -0.5774]])
求左奇异值矩阵w，u=NP . linalg . eight(a . dot(a . t))# w特征值，v特征向量w _ index=np.argsort (w) [:-1] #逆序返回下标w=np.sort (w) [:-1]。
[ 0.7071, 0.7071, 0.],
[ 0. 0. 1.]])
求奇异值矩阵w，u=NP . linalg . eight(a . dot(a . t))# w特征值，v特征向量w _ index=np.argsort (w) [:-1] #逆序返回下标w=np.sort (w) [:-1]。
[0. 1. 0.],
[0. 0. 0.]])
结果是NP。利纳格。SVD NP。利纳格。SVD (a)(数组([[0.7071，-0.7071，0.0])，
[ 0.7071, 0.7071, 0.],
[ 0. 0. 1.]]),
数组([ 1.7321，1。 -0.]),
数组([[ 0.4082，0.4082，0.8165)，
[-0.7071, 0.7071, 0.],
[ 0.5774, 0.5774, -0.5774]]))
利用计算机编程语言进行德拉贡诺夫狙击步枪(斯奈佩尔斯卡娅维尼奥夫卡德拉古诺夫的缩写)分解对图像压缩从PIL导入映像导入matplotlib。py绘图为pltA=图像。打开( 01。jpg ， r) #(510，320，3)a=np.array(A)#图片有RGB三原色组成，所以有三个矩阵u_r，sigma_r，v_r=np.linalg.svd(a[:0]) #奇异值分解(510，510)、(320)、(320，320)u_g，sigma_g，v_g=np.linalg.svd(a[:1])u_b，sigma_b，v_b=np.linalg.svd(a[:2])def restore(sigma，u，v，K): #奇异值、左特征向量、右特征向量m=len(u) #高n=len(v[0]) #宽a=np.zeros((m，n)) #510，320对于范围(K)中的K:uk=u[:k].整形(m，1) #取矩阵U的第k 1列数据(510,) 转为(510，1) vk=v[k].整形(1，n) #取矩阵V转置的第k 1行数据(320,)转为(1，320) a=sigma[k] * np.dot(uk，vk) #前第k 1个奇异值，且k * U * V a=a.clip(0，255)返回rint(a ).astype(uint8)#仅使用前一个，2个，50个奇异值的结果K=20j=1 PLT。fig(figsize=(15，8))对于范围(1，K ^ 1，2)中的K:R=restore(sigma _ R，u_r，v_r，k) G=restore(sigma_g，u_g，v_g，k) B=restore(sigma_b，u_b，v_b，k) I=np.stack((R，G，B)，axis=2) #将矩阵叠合在一起，生成图像I=图像。来自数组(I)PLT。subplot(2，5，j) plt.imshow(i) plt.title(K={} ).format(k)) j=1plt.show()
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