算法分析的目的是分析算法的,找众数算法的方法,算法分析的目的是分析算法的,找众数算法的关系

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　　作者：视窗

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　　众数是长度len的排列，出现次数比len/2多，来源于如何求这个数的话题。

　　基于排序

　　排序是第一感觉。对这个数组进行排序，并再次遍历它以获得结果。

　　如果用C语言写，基本如下。

　　intfind(inta，int len)).

　　{

　　sort(a，len)；

　　遍历(a，len)；

　　}

　　有时间复杂度为o (nlogn)的算法，如快速排序、归并排序、堆排序，但遍历排序后数组的结果是时间线性复杂度，即o(n)。因此，整个算法的时间复杂度为o(nlogn)。

　　寻找更好的算法

　　上面的算法很简单。很多时候，我们第一感觉到的不一定可靠。

　　能否找到线性时间层次的算法，即(n)时间层次的算法？它是一个上下边界相同的符号。其实很容易证明，不存在低于线性时间层次的算法，即时间o(n)。小O不同于大O，指向无穷的低层次。证据大致如下

　　如果算法能以o(n)的时间复杂度解决上述问题。因为它的无穷大小于N，所以一定有一个长度为N的数组，算法完成后，数组中检测到的元素小于N/2。将算法运算的结果设置为A，然后，数组会用相同的数字B代替算法得到的结果A，替换算法运算时没有检测到的所有元素。然后，通过算法操作新的数组。未检测到的量不会影响算法的结果，所以结果还是a .但实际上数列出现N/2次以上的次数是b .所以因为矛盾，所以这个问题没有o(n)时间算法。

　　现在我们可以开始思考更深层的东西了。

　　首先，如果一个数组中有两个不同的数字，将这两个数字从数组中去掉，得到一个新的数组。您会发现新阵列仍然具有与旧阵列相同的模式。这很容易证明：

　　假设数组为A，长度为len，模式数为X，出现次数为T，当然满足tlen/2。假设里面有两个Y和Z。yz .除了这两个数，剩下的数组长度是len-2。如果两个模式X，即xy和xz不相等，那么T仍然是新数组的模式号，因为X在新数组中的出现次数仍然是T，tlen/2(len-2 )/2。另一方面，当这两个数中有X时，当然只有一个X，所以X在其余排列中出现的次数是t-1，t-1len/2-1=(len-2 )/2，所以X仍然是新排列中出现频率最高的值。

　　如果我有上面的想法，我会考虑如何求这一对的不同数。

　　您可以记录数值num及其重复次数，遍历数组，并根据下面的流程图进行操作。

　　Num/times记录数字及其重复次数。乘以加1和减1取决于数组的新数字是否与num相同。如果减去1，就要看实际证明的命题了。找出不同的数字对。删除这两个后，剩余数组的模式号保持不变。

　　就是证明最后的结果是需要的模式。如果后续的结果不是最频繁的值，那么每次最频繁的值出现时，都会用非频繁值的个数“抵消”，所以数组中非频繁值的个数不会少于最频繁值的个数。然而，这并不是现实。因此建立上述算法，线性时间复杂度o(n)，常数空间复杂度o) )1)。

　　c语言代码基本如下。

　　intfind(int*a，int len)).

　　{

　　int i，num=0，times=0；for(I=0；我

　　如果(时间0) {

　　if(num==a[I]).

　　时间；

　　其他

　　次-；

　　}否则{

　　num=a[I]；

　　时间=1；

　　}

　　退货数量；

　　}

　　使用程序时，程序简化如下。

　　(定义(查找))

　　(汽车)

　　(向右折叠)

　　((NR))

　　(如果)零？(cdr r)

　　(反对意见1)

　　(cons(carr ) ) ) if ) eq？n(carr ) ) ) ) (cdr )1))

　　()))). 0 ) s))

　　升级后的问题

　　上面的模式数超过了数组长度的1/2。把这里的1/2换成1/3怎么办？

　　例如，如果数组是[1，1，2，3，4]，找到的模式数是1。

　　我们来升华一下。如果是1/m，这里m是一个参数。我怎样才能找到它？这个问题，走之前，那个问题

　　有些很复杂。另外要意识到，问题升级后，可能不止一种模式。例如，[1，1，2，2，3]的长度为5，1和2都大于5/3。最多有m-1个模式。

　　思考

　　如果还是先排序再遍历，还是有效的，但是时间复杂度还是O(nlogn)级，所以还是期待线性时间复杂度的算法。

　　对于第一个问题，前提是去掉数组中两个不同的数，模式不变。那么升级后的问题还有类似的结果吗？与之前不同的是，我们来看看当模式从大于1/2变为大于1/m时会发生什么，我们来看看长度为len的数组A中M个不同数的去除。认证过程如下：

　　同样，我们假设A中有一个模X，X的出现次数为t，我们看看去掉M个不同的数后X是否还是那个模。去掉M的个数后，新数组的长度是len-m. X是众数，所以X的出现次数是t len/m .如果去掉的M个数中没有X，剩下的数组中X的出现次数仍然是t，t len/m (len-m)/m，所以在这种情况下，X仍然是众数；如果去掉的M个数中有X，由于M的个数互不相同，所以只有一个X，所以剩余数组中X的出现次数为t-1，t len/m，所以t-1 len/m-1=(len-m)/m，所以剩余数组中X仍然占多数。这适用于上述阵列中的所有模式。类似地，对于数组中不是众数的数字，剩余的数组仍然不是众数。其实以上都用代替就够了

　　有了以上的理解，我们就可以按照前面的算法，只是这里改成了最大长度为n-1的链表。例如，对于数组[1，2，1，3]，模式1超过数组长度4的1/3，过程如下

　　初始空链表[]

　　检索第一个元素1，发现链表中没有num=1的元素，链表的长度也没有达到2，所以将其插入链表，得到[(num=1，times=1)]

　　检索第二个元素2，发现链表中没有num=2的表元素，链表长度没有达到2。将其插入到链表中得到[(num=1，times=1)，(num=2，times=1)]

　　搜索第三个元素1，发现链表中已经有一个num=1的元素，然后在元素times上加1得到[(num=1，times=2)，(num=2，times=1)]

　　检索第四个元素3，发现链表中没有num=3的元素，链表的长度已经达到最大，等于2。于是，进行消除，即每个元素的次数减1，减为0的元素从链表中删除，得到[(num=1，times=1)]

　　这就是上面的过程，最后的结果是模式为1。

　　以上过程最终得到的链表确实包含了所有的模式，这个很容易证明，因为任何模式的次数都不可能完全取消。然而，上述过程实际上并不能保证所有的模式都在最终的链表中。比如[1，1，2，3，4]最后得到[(num=1，times=1)，(num=4，times=1)]，但4不是众数。

　　所以在我们得到这个链表之后，我们需要再次遍历数组，记录链表中的重复次数。

　　Python使用map/reduce高阶函数代替过程式下的循环，上面的算法也需要如下这么多代码。

　　从functools导入减少

　　定义查找(a，m):

　　定义find_index(arr，test):

　　对于范围内的I(len(arr)):

　　if测试(arr[i]):

　　返回I

　　返回-1

　　定义检查(r，n):

　　index=find_index(r，x:x[0]==n)

　　如果索引=0:

　　r[索引][1]=1

　　返回r

　　如果len(r) m-1:

　　return r [[n，1]]

　　return reduce(lambda arr，x : arr if x[1]==1 else arr [[x[0]，x[1]-1]]，r，[])

　　定义计数(r，n):

　　index=find_index(r，x:x[0]==n)

　　如果索引为0:

　　返回r

　　r[索引][1]=1

　　返回r

　　如果x[1]len(a)//m else r，\

　　减少(计数，a，\

　　list(map(lambda x : [x[0]，0]，reduce(check，a，[])))，[])

　　如果用C语言写代码会更多，但是可以用定长数组代替链表，效率会高很多。times=0表示元素未被占用。在这里不会实现。让感兴趣的读者自己体会吧。

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