神奇的gamma函数,gamma函数求值
(x)=0tx 1e TDT
对应于scipy(python库):从scipy.special导入gamma
通过分布积分的方法，推导如下：
(x 1)=0 txe TDT=0 txd(e t)=[txe t 0 x0 tx1e TDT]=x(x)
该函数的递归性质可以如下获得：
(x 1)=x(x)(5 1)120.0 5 *(5)120.0
所以很容易证明( (1)=1， (n)=(n1) (n1))， (x)函数可以看作是阶乘在实数集上的延续，并具有以下性质：
(n)=(n1)！ (n)与B(m，n)的关系
B (m，n)= 10xm1 (1x) N1DXB (m，n)= (m) (n) (m n)从二项式分布到伽玛分布
通过稍微改变伽马函数的定义，可以获得下面的等式：
0x1e x()dx=1
然后取积分中的函数作为概率密度(概率密度函数，PDF)，得到最简单形式的伽马分布的密度函数：
伽马(x )=x1e x()
如果再做一次变换x=t，就会得到更一般形式的伽马分布：
(t ，)=t1et()
称为形状参数，主要决定分布曲线的形状，称为速率参数(或者反标度参数，1称为标度参数)，主要决定曲线有多陡。
Gamma 分布与Possion 分布
伽马分布首先与泊松分布(离散型)和泊松过程密切相关。很容易发现伽玛分布的概率密度在数学形式上与泊松分布高度一致。参数为的泊松分布，其概率质量函数(pmf)为：
possion(X=k )=kek！
伽马分布的密度(=k ^ 1，=1)给出：
伽马(x =k 1)=xe x(k 1)=xke xk！
所以两种分布在数学形式上是一致的，只是泊松分布是离散的，伽马分布是连续的，可以直观地认为Gamma分布是Possion分布在正实数集上的连续化版本。
我们在概率论与数理统计的课程中已经了解到，在np=，n的条件下，泊松()分布可以看作二项分布B(n，p)的极限分布：
b(k；n,p)=(nk)pk(1p)nknp=,npoisson(x=knp)=kek！
如果你足够关注二项分布，你可能知道二项分布的随机变量XB(n，p)满足下面这个精彩的恒等式:
P(Xk)=n！k！(n k1)！1 ptk(1t)nk1dt
我们在等式的右边进行变换t=xn，得到：
p(Xk)====n！k！(n k1)！nnp(xn)k(1 xn)n k 1d(xn)nnp(n 1)！k！(n k1)！(xn)k(1 xn)n k1dxnnp(n1k)(xn)k(1 xn)n k1dxnnpB(k；n1，xn)dxnnpB(Y=k n1，xn)dx
上式左边是二项分布B(n，p)的累积密度函数(cdf)，右边是无限个二项分布B (n1，xn)的积分和，所以可以写成：
B(Xkn，p)=nnpB(Y=k n 1，xn)dx
在np=，n的条件下，取上式两边的极限，你会得到：
泊松(Xk )=泊松(Y=k X)dx=xke xk！高级的（deluxe的简写）
讲到这里，我们不妨暂停一下。我们使用scipy进行简单的验证：
将scipy.stats作为ST from scipy . misc import factorial from scipy import integrate LMBDA，k=2，6X=ST . Poisson(2)# X ~ Poisson(2)print(X . CDF(K))# P(X=K)def Poisson _ pdf(X，K):return X * * K * NP . exp(-X)/factorial(K)print(integrate . quad(possion _ pdf，lmbda，np.inf，args=(K))[0)# 0.9956666
泊松(Xk )=泊松(Y=k X)dx=xke xk！高级的（deluxe的简写）
这个方程就是著名的Poisson-Gamma duality。接下来，我们来找点乐子。取上式两边0处的极限，左边的泊松分布表示至少K个事件的概率。当0时，没有事件可以再次发生，所以P(Xk)=0，所以：
1=lim0xke xk！dx=0x ke xk！高级的（deluxe的简写）
积分公式说明f (x)=xkexk！在实数集合上，是一个概率密度函数(pdf)，而这个函数恰好是Gamma分布(gamma (x )=x 1ex ()，=k ^ 1)(也即我们通过二项分布，再根据泊松定理，推导出了最后的Gamma分布)。让我们继续把K放在上式的右边！向左移动，你会得到：
k！=0x ke xdx
所以我们得到了K！表示积分的方法(也就是从现在开始我们可以计算3.5的阶乘)。
好吧，文章够长，公式够复杂。下面重点讲一下阶乘在正实数轴上的连续化（或者叫插值）的实现，这个已经很明显了。
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