本文主要介绍AVL树数据结构的详细说明。本文讲解了AVL树的基础知识，AVL树的旋转操作，AVL数的插入和删除操作等。非常详细。有需要的可以参考一下。

1. 概述

AVL树是最早的自平衡二叉树。AVL树中任意一个节点的两个子树的高度差为1，所以也叫高度平衡树。AVL tree以其发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis的名字命名。AVL树种搜索、插入和删除平均为O(log n)，在最坏的情况下。添加和删除可能需要一个或多个树循环来重新平衡此树。介绍了AVL树的设计思想和基本操作。

2. 基本术语

有四种情况可能导致二叉查找树的不平衡，即：

(1)LL:在根节点的左子树的左子树中插入一个新节点，导致根节点的平衡因子从1变为2。

(2)RR:在根节点的右子树的右子树中插入一个新节点，导致根节点的平衡因子从-1变为-2。

(3)LR:在根节点的左子树的右子树中插入一个新节点，导致根节点的平衡因子从1变为2。

(4)RL:在根节点的右子树的左子树中插入一个新节点，导致根节点的平衡因子从-1变为-2。

针对四种情况可能造成的不平衡，可以通过旋转来平衡。旋转有两种基本类型：

(1)向左旋转：将根节点旋转到(根节点的)右孩子的左孩子位置

(2)右旋转：将根节点旋转到(根节点的)左子节点的右子节点位置。

3. AVL树的旋转操作

AVL树的基本操作是旋转，旋转方式有四种，分别是：左旋转、右旋转、左右旋转(先左后右)和左右旋转(先右后左)。其实这四种旋转运算是两两对称的，所以也可以描述为两种旋转运算。

基本数据结构：

复制代码如下：

typedef结构节点*树；

typedef结构节点* Node _ t；

typedef类型int

结构节点{

Node _ t left

Node _ t right

int高度；

类型数据；

};

int Height(Node_t node) {

返回节点高度；

}

3.1 LL

LL情况需要用右手解决，如下图所示：

代码是：

复制代码如下：

Node_t RightRotate(Node_t a) {

b=a-左；

a-左=b-右；

b-右=a；

a-height=Max(高度(a-左)，高度(a-右))；

b-height=Max(高度(b-左)，高度(b-右))；

返回b；

}

3.2 RR

RR需要左手求解，如下图所示：

代码是：

复制代码如下：

Node_t LeftRotate(Node_t a) {

b=a-右；

a-右=b-左；

b-左=a；

a-height=Max(高度(a-左)，高度(a-右))；

b-height=Max(高度(b-左)，高度(b-右))；

返回b；

}

3.3 LR

LR情况需要通过左转右转(先B左转，再A右转)来解决，如下图所示：

代码是：

复制代码如下：

Node _ t left right rotate(Node _ t a){

a-left=left rotate(a-left)；

返回right rotate(a)；

}

3.4 RL

RL需要从右向左求解(先B向右旋转，再A向左旋转)，如下图所示：

代码是：

复制代码如下：

Node _ t right left rotate(Node _ t a){

a-right=right rotate(a-right)；

返回left rotate(a)；

}

4. AVL数的插入和删除操作

(1)插入操作：实际上是在不同的条件下，通过不同的旋转方式对整棵树进行调整。具体代码如下：

复制代码如下：

Node_t插入(类型x，树t) {

if(t==NULL) {

t=new node(x)；

} else if(x t-data) {

t-left=插入(t-left)；

if(Height(t-left)-Height(t-right)==2){

if(x t-left-data) {

t=right rotate(t)；

}否则{

t=LeftRightRotate(t)；

}

}

}否则{

t右=Insert(t右)；

if(Height(t-right)-Height(t-left)==2){

if(x t-right-data) {

t=left rotate(t)；

}否则{

t=RightLeftRotate(t)；

}

}

}

t-height=Max(Height(t-left)，Height(t-right))1；

return t；

}

(2)删除操作：首先定位要删除的节点，然后用该节点的右子节点的最左边的子节点替换该节点，并将该节点中的根子树重新调整为AVL树。具体调整方法类似于插入数据，代码如下：

复制代码代码如下：

节点删除(类型x，树t) {

if(t==NULL)返回NULL

if(t-data==x) {

if(t-right==NULL) {

Node _ t温度=t

t=t-左；

免费（临时);

}否则{

Node_t头=t右；

而(左上){

头=头-左；

}

t-data=head-data；//只复制数据

t-right=Delete(t-data，t-right)；

t-height=Max(Height(t-left)，Height(t-right))1；

}

return t；

} else if(t-data x) {

删除(x，t-right)；

如果(t右)旋转(x，t右);

}否则{

删除(x，t-左)；

如果(t-左)旋转(x，t-左);

}

如果(t)旋转(x，t)；

}

5. 总结

AVL树是最早的自平衡二叉树，相比于后来出现的平衡二叉树（红黑树、处理、张开树)而言，它现在应用较少，但研究AVL树对于了解后面出现的常用平衡二叉树具有重要意义。

6. 参考资料

(1) 数据结构（三)语言版)严蔚敏，吴伟民著

(2)http://zh . Wikipedia . org/wiki/AVL树

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