笛卡尔乘积也叫直积。假设集合A={a，b}，集合B={0，1，2}，两个集合的笛卡尔积为{(A，0)，(A，1)，(A，2)，(B，0)，(B，1)，(B，2)}

笛卡尔乘积也叫直积。假设集合A={a，b}，集合B={0，1，2}，两个集合的笛卡尔积为{(a，0)，(A，1)，(A，2)，(B，0)，(B，1)，(B，2)}。它可以扩展到多个集合。举个类似的例子，如果A代表一所学校的学生集合，B代表该校所有课程的集合，那么A和B的笛卡尔积代表所有可能的选课情况。

在数学中，两个集合X和Y的笛卡尔积，也称为直积，表示为XY，这是第一个对象是X的成员，第二个对象是Y的成员的所有可能的有序对：

笛卡尔乘积以笛卡尔命名，他的解析几何的提法触发了这个概念。

具体地说，如果集合X是一个13元素的点集{A，K，Q，J，10，9，8，7，6，5，4，3，2}，集合Y是一个4元素的花色集{，}，那么这两个集合的笛卡尔积就是一个52元素的标准扑克牌集{(A，)

目录

1笛卡尔积的性质

2笛卡尔平方和n元乘积

3无限乘积

函数4的笛卡儿积

5个外部链接

6参见笛卡尔积的性质。

见易笛卡尔积满足下列性质：

对于任何集合A，根据定义都有

一般来说，笛卡尔积不满足交换律和结合律。

笛卡尔积满足集合并与交的分布律，即

笛卡尔平方和n元乘积

集合x的笛卡儿平方(或二元笛卡儿积)是笛卡儿积x x，一个例子是二维平面RR，其中R是实数的集合——所有点(x，y)，其中x和y是实数(见笛卡儿坐标系)。

n个集合X1上的n元笛卡尔积，Xn可以概括为：

实际上可以认定为(X1.Xn-1) Xn。它也是一组n元组。

欧几里德的三维空间RRR就是一个例子，这里R又是一组实数。

为了帮助计算，可以画一张表。一组用作行，另一组用作列。从行和列的集合中选择元素以形成有序对作为表格的单元格。无穷积

对于最常用的数学应用程序，通常只需要上述定义。但是在任意(可能是无限)集合上定义笛卡尔积是可能的。如果I是任何一组指标，并且

是由I索引的集合的集合，那么我们定义

,

即定义在指标集上的所有函数的集合，使得这些函数在特定指标I上的值是x I的元素。

对于I中的每个j，定义如下

的功能

叫做j次投影映射。

n元组可以看作{1，2，n}，它在I上的值是这个元组的第I个元素。因此，当I为{1，2，n}，这个定义和有限情况的定义是一致的。在无限的情况下，这个定义就是集合族。

一个熟悉的无限情况是当指数集是一组自然数时：这是所有无限序列的集合，其中第I项对应于集合Xi。同样，提供了这样一个示例：

它是实数的无限序列的集合，并且可以很容易地被可视化为具有有限数量的分量的向量或元组。另一个特例(上面的例子也满足它)是当乘积中涉及的因子Xi都相同时，类似于“笛卡尔指数”。那么定义中的无限并本身就是集合本身，而其他条件都以琐碎的方式满足，那么这就是从I到x的所有函数的集合。

另外，无穷笛卡尔积虽然有应用于高等数学的价值，但是不太直观。

断言任何非空集的非空集合的笛卡尔积是非空的，等价于选择公理。函数的笛卡尔乘积

如果F是从A到B的函数，G是从X到Y的函数，那么它们的笛卡尔积fg是从AX到BY的函数，其中

以上可以扩展到函数的元组和无限索引。

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