傅里叶变换图像处理的例子,图像做傅里叶变换
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摘要：傅里叶变换主要是将时域的信号转换成频域的信号，用于图像去噪和图像增强。
本文由eastmount分享自华为云社区《[Python图像处理] 二十二.Python图像傅里叶变换原理及实现》。
本文主要讲解图像傅里叶变换的相关内容。在数字图像处理中，有两种经典的变换，——傅立叶变换和Hough变换，被广泛应用。其中，傅里叶变换主要是将时域的信号转换成频域的信号，用于图像去噪和图像增强。
傅里叶变换是图像傅里叶变换的原理，常用于数字信号处理。其目的是将时域信号转换成频域信号。随着域的不同，理解同一个事物的角度也是变化的，所以时域的一些难的地方在频域就可以简单处理了。同时，我们可以在频域中发现一些不容易检测到的特征。傅立叶定理指出“任何连续的周期信号都可以表示为(或无限近似为)一系列正弦信号的叠加。”
下面是李老师的《Python OpenCV图像处理》中的一个案例，强烈推荐同学们学习。如下图所示，他把一个饮料生产过程的时域角度转换成了频域角度。
绘制相应的时间图和频率图如下：
傅立叶公式如下，其中W代表频率，T代表时间，是一个复变函数。它将时域中的函数表示为频域中函数f(t)的积分。
傅立叶变换认为，一个周期函数(信号)包含多个频率分量，任意函数(信号)f(t)可以由多个周期函数(或基函数)相加合成。从物理角度来说，傅里叶变换是以一组特殊函数(三角函数)为正交基，对原函数进行线性变换。物理意义是原函数在每组基函数上的投影。如下图所示，它由三条正弦曲线组成。
傅里叶变换可以应用于图像处理，其频谱可以通过变换图像得到。图像中灰度变化的强度由频谱中的频率来表征。图像中的边缘信号和噪声信号往往是高频信号，而图像变化频繁的图像轮廓和背景信号往往是低频信号。此时可以对图像进行相关操作，如图像去噪、图像增强、锐化等。
二维图像的傅立叶变换可以由下面的数学公式(15-3)表示，其中f是空间域的值，f是频率域的值。
在对以上傅里叶变换有了大致的了解之后，分别用Numpy和OpenCV来讲解图像傅里叶变换的算法和运算代码。
2.Numpy实现傅里叶变换。Numpy中的FFT包提供了函数np.fft.fft2()，可以对信号进行快速傅立叶变换。该函数的原型如下所示，输出结果是一个复杂的数组。
fft2(a，s=无，轴=(-2，-1)，范数=无)
a表示输入图像，复数数组S表示整数序列，可以决定输出数组的大小。输出可选形状(每个变换轴的长度)，其中s[0]表示轴0，s[1]表示轴1。对应于fit(x，n)函数中的n，沿着每个轴，如果给定形状小于输入形状，则输入将被裁剪。如果大于，输入将用零填充。如果未给定“s ”,则沿着“axes”指定的轴的输入形状轴用于表示整数序列，该序列用于计算FFT的可选轴。如果不是，则使用最后两个轴。“轴”中的重复索引表示在该轴上执行多次变换，元素序列表示执行一维FFT。Norm包括两个选项，“无”和“正交”,以及归一化模式(请参见numpy.fft)。默认值为无。Numpy中的fft模块有很多功能，相关功能如下：
#计算一维傅立叶变换
numpy.fft.fft(a，n=无，轴=-1，范数=无)
#计算二维傅立叶变换
numpy . FFT . FFT T2(a，n=无，轴=-1，范数=无)
#计算n维的傅立叶变换
numpy.fft.fftn()
# Ca
#返回傅立叶变换的采样频率。
numpy.fft.fftfreq()
#将FFT输出中的DC分量移到频谱中心
numpy.fft.shift()
下面的代码是通过Numpy库实现傅立叶变换，调用NP . FFT . FFT T2()快速傅立叶变换得到频率分布，然后调用np.fft.fftshift()函数将中心位置向中间移动，最后通过Matplotlib显示效果图。
# -*-编码：utf-8 -*-
将cv2作为cv导入
将numpy作为np导入
从matplotlib导入pyplot作为plt
#阅读图像
img=cv.imread(test.png ，0)
#快速傅立叶变换算法获得频率分布
f=NP . FFT . FFT T2(img)
#默认结果中心位置在左上角，
#调用fftshift()函数移动到中间位置
fshift=np.fft.fftshift(f)
#fft结果是复数，其绝对值结果是幅度。
fimg=np.log(np.abs(fshift))
#显示结果
plt.subplot(121)，plt.imshow(img，灰色)，plt.title(原始傅立叶)
plt.axis(“关”)
plt.subplot(122)，plt.imshow(fimg， gray )，plt.title(Fourier Fourier )
plt.axis(“关”)
plt.show()的输出结果如图15-2所示，左图为原图，右图为频率分布图，其中频率越靠近中心越低，越亮(灰度值越高)的位置表示该频率的信号幅度越大。
三。Numpy实现傅里叶逆变换。下面是Numpy如何实现傅里叶逆变换，傅里叶逆变换是傅里叶变换的逆运算，是将光谱图像转换成原始图像的过程。通过傅里叶变换转换成声谱图，对高频(边界)和低频(细节)部分进行处理，然后需要通过傅里叶逆变换恢复出原始效果图。频域中的图像处理会反映在逆变换图像中，从而更好地处理图像。
用于图像傅立叶变换的主要函数如下：
#实现图像的逆傅立叶变换，返回一个复数组
numpy.fft.ifft2(a，n=无，轴=-1，范数=无)
# fftstit()函数的反函数，将频谱图像的中央低频部分移动到左上角。
numpy.fft.fftshift()
#将复数转换为0到255的范围
Iimg=numpy.abs(傅里叶逆变换的结果)
下面的代码分别实现傅立叶变换和傅立叶逆变换。
# -*-编码：utf-8 -*-
将cv2作为cv导入
将numpy作为np导入
从matplotlib导入pyplot作为plt
#阅读图像
img=cv.imread(Lena.png ，0)
#傅立叶变换
f=NP . FFT . FFT T2(img)
fshift=np.fft.fftshift(f)
res=np.log(np.abs(fshift))
#傅里叶逆变换
ishift=np.fft.ifftshift(fshift)
iimg=np.fft.ifft2(ishift)
iimg=np.abs(iimg)
#显示结果
plt.subplot(131)，plt.imshow(img，灰色)，plt.title(原始图像)
plt.axis(“关”)
plt.subplot(132)，plt.imshow(res， gray )，plt.title(傅立叶图像)
plt.axis(“关”)
plt.subplot(133)，plt.imshow(iimg， gray )，plt.title(逆傅立叶图像)
plt.axis(“关”)
plt.show()的输出结果如图15-4所示。从左到右分别是原始图像、光谱图像和傅里叶逆变换图像。
四。OpenCV实现傅立叶变换。OpenCV中对应的函数是cv2.dft()，和用Numpy输出的结果一样，只是用了两个通道。第一个通道是结果的实部，第二个通道是结果的虚部，输入图像要先转换成np.float32格式。该函数的原型如下：
dst=cv2.dft(src，dst=None，flags=None，nno牛油=None)
Src表示输入图像，输出图像需要用np.float32转换格式dst表示，包括输出大小和表示转换标记的大小标志，其中DFT _INVERSE进行反向一维或二维转换，而不是默认的正向转换；DFT _SCALE表示缩放结果，除以数组元素个数；DFT _ROWS对输入矩阵的每一行执行正向或反向转换。此标志可以同时变换多个向量，并可用于减少执行3D和更高维度变换等的开销。DFT _COMPLEX_OUTPUT进行1D或2D实数组的正向转换，这是最快的选择，也是默认函数；DFT _REAL_OUTPUT执行一维或二维复数数组的逆变换，结果通常是相同大小的复数数组。然而，如果输入数组具有共轭复对称性，则输出是实数组。nonzeroRows是指当参数不为零时，函数假设只有nonzeroRows(未设置)的输入数组的第一行或者只有输出数组的第一行(设置)包含非零，这样函数可以更高效地处理剩余的行，节省一些时间；这种技术对于使用DFT计算阵列互相关或卷积非常有用。因为输出的频谱结果是复数，所以需要调用cv2.magnitude()函数将傅里叶变换的两路结果转换到0到255的范围内。其功能原型如下：
cv2.magnitude(x，y)
X表示浮点X坐标值，即实部Y表示浮点Y坐标值，即虚部。
最终输出结果是振幅，即：
完整的代码如下：
# -*-编码：utf-8 -*-
将numpy作为np导入
导入cv2
从matplotlib导入pyplot作为plt
#阅读图像
img=cv2.imread(Lena.png ，0)
#傅立叶变换
dft=cv2.dft(np.float32(img)，flags=cv2。DFT _复杂_输出)
#将频谱低频从左上角移动到中心位置
dft_shift=np.fft.fftshift(dft)
#光谱图像用双通道复数转换成0-255区间。
result=20 * NP . log(cv2 . magnitude(dft_shift[:0]，DFT _ shift[:1])
#显示图像
plt.subplot(121)，plt.imshow(img，cmap=gray )
plt.title(输入图像)、plt.xticks([])、plt.yticks([])
plt.subplot(122)，plt.imshow(result，cmap=gray )
plt.title(星等谱)，plt.xticks([])，plt.yticks([])
plt.show()的输出结果如图15-5所示，左边是原始的“Lena”图像，右边是转换后的频谱图像，并保证低频在中心。
动词（verb的缩写）用OpenCV实现傅里叶逆变换在OpenCV中，傅里叶逆变换是通过函数cv2.idft()实现的，返回的结果取决于原图像的类型和大小，可以是实数，也可以是复数。该函数的原型如下：
dst=cv2.idft(src[，dst[，flags[，nonzeroRows]])
Src表示输入图像，包括实数或复数dst表示输出图像标志表示转换标记nonzeroRows表示要处理的dst行数，其他行的内容未定义(请参考dft描述中的卷积示例)。完整的代码如下：
# -*-编码：utf-8 -*-
将numpy作为np导入
导入cv2
从matplotlib导入pyplot作为plt
#阅读图像
img=cv2.imread(Lena.png ，0)
#傅立叶变换
dft=cv2.dft(np.float32(img)，flags=cv2。DFT _复杂_输出)
dftshift=np.fft.fftshift(dft)
res1=20 * NP . log(cv2 . magnitude(dftshift[:0]，DFT shift[:1])
#傅里叶逆变换
is hift=NP . FFT . IFFT shift(DFT shift)
iimg=cv2.idft(ishift)
res2=cv2.magnitude(iimg[:0]，iimg[:1])
#显示图像
plt.subplot(131)，plt.imshow(img，灰色)，plt.title(原始图像)
plt.axis(“关”)
plt.subplot(132)，plt.imshow(res1，灰色)，plt.title(傅立叶图像)
plt.axis(“关”)
plt.subplot(133)，plt.imshow(res2，灰色)，plt.title(逆傅立叶图像)
plt.axis(“关”)
plt.show()的输出结果如图15-6所示。第一张图是Lena原图，第二张图是傅里叶变换后的光谱图像，第三张图是傅里叶逆变换的过程，光谱图像转换成原图。
不及物动词总结傅里叶变换的目的不是观察一幅图像的频率分布(至少不是最终目的)，更多的时候是对频率进行滤波，通过修改频率来达到图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、压缩和加密的目的。在下一篇文章中，作者将结合傅立叶变换和逆傅立叶变换来说明其应用。
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