python求标准正态分布,python对数正态分布函数
标准正态分布的分布函数 (x) (x)可以说是统计计算中非常重要的一个函数，在基本正态分布的地方都会或多或少用到。在一些具体问题中，我们需要多次计算这个函数的值。比如我经常需要计算正态分布和另一个随机变量之和的分布。这时候就需要用数值积分了，被积函数包含 (x) (x)。如果z？N(0，1)，X？f(x)Z？N(0，1)，X？F(x)，ff是XX的密度函数，那么Z XZ X的分布函数为
P(Z Xt)= ？(t？x)f(x)dxP(Z Xt)=？(t？x)f(x)dx
我们知道， (x) (x)没有简单的显式表达式，需要通过一定的数值方法来计算。在大多数科学计算软件中，计算的准确性永远是第一位的，所以它的算法一般比较复杂。当这个函数需要计算上千次时，速度可能会成为瓶颈。
当然，有问题就会有对策。一种常见的做法是稍微放弃一些精度，以换取更简单的计算。在大多数实际应用中，合理的误差，如10？710?一般7个就够了。本文将介绍两个简单的方法，都比R中的pnorm()快，误差控制在10？710?7的水平。
第一种方法来自经典参考书《abramowitz and stegun:数学函数手册》。
公式26.2.17。基本思想是把 (x) (x)表示成正态密度函数？(x)？(x)和一个有理函数的乘积。这种方法可以保证误差小于7.510？87.510?8.C实现可以在这里找到。(代码中的常数与书中略有不同，因为代码是为误差函数erf(x)erf(x)编写的，它与 (x) (x)有一些常数不同)
我们来对比一下这个方法和R中pnorm()的速度，验证一下它的准确性。
库(Rcpp)source CPP( test _ as 26217 . CPP )x=seq(-6，6，by=1e-6) system.time(y
可以看出，AS 26.2.17的速度是pnorm()的三倍左右，误差在预定范围内，对计算效率是一个很大的提升。
那么有可能更快吗？答案是肯定的，而且这个方法你其实已经用过很多次了。什么，你不相信我？看看下图，你就明白了。
没错，这个更快的方法其实就是两个字：查表。它的基本思想是，我们预先计算一系列函数值(xi， (xi)) (xi， (xi))，然后当我们需要计算某一点x0x0时，我们会找到最近的两个点xkxk和xk 1xk 1，然后通过线性插值得到 (x0) (x0)的近似值：
(x0)x0？xkxk 1？xk(Xi 1)xk 1？x0xk 1？xk(Xi)(x0)x0？xkxk 1？xk(Xi 1)xk 1？x0xk 1？xk(Xi)
什么？觉得这个方法太简单了？别着急，这里面还是有很多知识的。我们之前说过，我们需要确保这个方法的误差不超过？=10?7?=10?7，所以要合理选择预计算点。由于(？x)=1？(x)(？x)=1？ (x)，我们暂时只需要考虑xx为正的情况。如果xi=ih，i=0，1，…，Nxi=ih，i=0，1，…，N，那么函数ff线性插值的误差不会超过(来源)
e(x)18fh2E(x)18fH2
其中f f "是函数的二阶导数的最大绝对值。对于正态分布函数，等于？(1)0.242?(1)0.242。所以设E(x)=10？7E(x)=10？7，我们可以解出h0.001818h0.001818。最后，只要xN5.199xN5.199，即N2860N2860，且xxNxxN的所有值都等于1，就能保证 (x) (x)在整个实数域内的近似误差小于10？710?7。
我把这个简单方法的实现放在了Github上，源程序和测试代码也可以在文末找到。它是这样表现的：
库(Rcpp)source CPP( test _ fastncdf . CPP )x=seq(-6，6，by=1e-6) system.time(fasty
与之前的结果相比，速度相当于pnorm()的15倍！
我们似乎总是认为，随着计算机和统计软件的普及，一些传统的做法会逐渐被淘汰。比如现在，除了考试，我们可能大部分时间都在用软件，而不是正常的概率表。从教学和实际应用的角度来看，这种做法是应该推广的，但并不妨碍我们从一些“旧知识”中吸取营养。关于这种笨拙的做法有很多故事，比如这个广为流传的故事。在计算资源匮乏的时代，科学家们想出了各种别出心裁的办法来解决他们遇到的各种问题。现在的电脑性能远不能和当年相比，但是很多前辈的智慧依然穿越时间帮助我们到现在。不得不说，这也是一种缘分。
出发地：统计之都
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